Question

【题目】斜率为的直线过抛物线：的焦点，且与拋物线交于，两点．

（1）设点在笫一象限，过作拋物线的准线的垂线，为垂足，且，求点的坐标；

（2）过且与垂直的直线与圆：交于，两点，若与面积之和为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）设抛物线的准线与轴的交点为，由抛物线的定义可得，进一步可得，，过M作轴于，所以，，，所以的坐标为；

（2）设直线的方程为，与抛物线联立得到根与系数的关系，进一步得到弦长，利用勾股定理、弦心距可得弦长，，代入计算即可得到答案.

（1）设抛物线的准线与轴的交点为，

根据抛物线的定义得，则．

∵，，，

∴，，

过M作轴于，所以，，，

∴点的坐标为．

（2）设直线的方程为，

与联立得，

令，，则，，

．

∵，∴直线的方程为，即，

∴圆心到直线的距离为，

∵圆的半径为，∴，

∴与面积之和

，

∵直线与圆有两个交点，∴，

令，则，

由，解得或（舍去），

∴，得．