题目内容
【题目】如图，四边形
为菱形，且
，
，
，点
在面
上的投影
恰在
上，点
为
中点.
（1）求证：为线段
的中点；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）过
作
于
，连接
，证明点为
中点.又利用
面
，证得
，结合条件
，即可证明
面
，从而得到
，证明是中位线，即可证明
为线段
的中点；
（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，分别求出平面
的一个法向量
以及平面
的一个法向量
，再求出两个法向量的夹角的余弦，通过观察得二面角与两法向量夹角相等，则可得结论..
（1）证明：过作于，连接，
由菱形
，
，及
，
可知
，为中点，
面，
，
又
，
面，
面，
，
又，
，
由为中点，可知，为线段的中点；
（2）以
所在直线为
轴，以所在直线为
轴，
过平行的直线为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设面的一个法向量
，
，
，
，取
设面的一个法向量
，
，
，
，取，
∴
，
二面角
的余弦值为.
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