Question

【题目】已知椭圆过点，其左、右两个焦点分别为，，短轴的一个端点为，且.

（1）求的平分线所在的直线方程；

（2）设直线：与椭圆交于不同的两点，.且为坐标原点，若，求的面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆过点，且得到，从而解得椭圆的方程，设角平分线与轴交于，易得，，利用角平分线定理，可得.由点写出的方程.

（2）设，.，与椭圆方程联立，根据判别式大于零和求得k的范围，再由求解.

（1）由题意得，解得，

所以椭圆的方程为.

设角平分线与轴交于，

因为，，

所以，，

所以，

所以，解得.

因为直线的斜率，

所以直线的方程为，即.

（2）设，.则，消去y得：

∴，

由，，，

得.①

由，得，所以.

又.

∴，

，

所以.②

综合①②可知.

，

令，则，，

所以，

因为在上单调递增.

所以在上单调递减，

当，即时，的面积最大，最大值为.