Question

1．已知函数f（x）=x+|mx-1|（m＞0）．
（1）当m=1时，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若方程f（x）=$\frac{1}{3}$有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当m=1时，不等式f（x）＜2可化为x+|x-1|＜2，分类讨论，去掉绝对值符合，即可求不等式f（x）＜2的解集；
（2）方程f（x）=$\frac{1}{3}$可转化为|mx-1|=$\frac{1}{3}$-x，利用方程f（x）=$\frac{1}{3}$有两个不同的实数根，得出-m＜-1且$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{3}$，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：（1）当m=1时，不等式f（x）＜2可化为x+|x-1|＜2，
x≤1时，原不等式可化为：x-x+1＜2，恒成立；
x＞1时，原不等式可化为：x+x-1＜2，解得：x＜1.5，
∴1＜x＜1.5．
综上所述，x＜1.5，
∴不等式f（x）＜2的解集为{x|x＜1.5}；
（2）方程f（x）=$\frac{1}{3}$可转化为|mx-1|=$\frac{1}{3}$-x，mx-1=0的根为$\frac{1}{m}$，y=$\frac{1}{3}$-x的斜率为-1．
∵方程f（x）=$\frac{1}{3}$有两个不同的实数根，
∴-m＜-1且$\frac{1}{m}$＜$\frac{1}{3}$，
∴m＞3．

点评 本题考查不等式的解法，考查方程根的问题，正确转化是关键．