题目内容
已知点P是双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）左支上一点，F1，F2是双曲线的左右两个焦点，且
•
=0，线段PF2的垂直平分线恰好是该双曲线的一条渐近线，则离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| PF1 |
| PF2 |
A、
| ||
B、
| ||
| C、2 | ||
D、
|
考点：双曲线的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，根据三角形的中位线定理得出ON∥PF1，从而得到∠PF1F2正切值，可设PF2=bt．PF1=at，再根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，进而根据勾股定理建立等式求得a和b的关系，则离心率可得．
解答：
解：在三角形F1F2P中，点N恰好平分线段PF2，点O恰好平分线段F1F2，
∴ON∥PF1，又ON的斜率为
，
∴tan∠PF1F2=
，
在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，
根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②
由①②消去t，得(a2+b2)•
=4c2，
又c2=a2+b2，
∴a2=（b-a）2，即b=2a，
∴双曲线的离心率是
=
，
故选：D．
∴ON∥PF1，又ON的斜率为
| b |
| a |
∴tan∠PF1F2=
| b |
| a |
在三角形F1F2P中，设PF2=bt．PF1=at，
根据双曲线的定义可知|PF2|-|PF1|=2a，∴bt-at=2a，①
在直角三角形F1F2P中，|PF2|2+|PF1|2=4c2，∴b2t2+a2t2=4c2，②
由①②消去t，得(a2+b2)•
| 4a2 |
| (b-a)2 |
又c2=a2+b2，
∴a2=（b-a）2，即b=2a，
∴双曲线的离心率是
| c |
| a |
| 5 |
故选：D．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生对双曲线定义和基本知识的掌握，属于中档题．
练习册系列答案
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②若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
④若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ．
其中正确命题的个数是（ ）
①若m∥α，α∩β=n，则m∥n；
②若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；
③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；
④若α∩β=m，m⊥γ，则α⊥γ．
其中正确命题的个数是（ ）
| A、1 | B、2 | C、3 | D、4 |
不等式组
表示的平面区域是三角形，则a的取值范围是（ ）
|
| A、a≥0或-10＜a≤-6 |
| B、-10＜a≤-6 |
| C、-10＜a＜-6 |
| D、a≥0 |
“a=
”是“直线ax-y-4=0与直线x-2y-m=0平行”的（ ）
| 1 |
| 2 |
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| B、充分而不必要条件 |
| C、必要而不充分条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
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| x+1 |
| x-m |
| 1 |
| 3 |
| A、1 | B、-1 | C、2 | D、-2 |
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| A、[-2，2] |
| B、（-2，2） |
| C、（-∞，-2]∪[2，+∞） |
| D、（-∞，-2）∪（2，+∞） |
过双曲线
-
=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作一条垂直于x轴的直线，交双曲线与A，B两点．若线段AB长度等于此双曲线的焦距，则该双曲线的离心率是（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、
| ||||
B、1+
| ||||
C、
| ||||
D、1+
|