Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-{x^2}+4x-3，\;x≤1\\ lnx，\;x＞1\end{array}$，若f（x）=a（x-1）有且只有一个实数解，则a的取值范围是（　　）

• A． [1，2]
• B． （-∞，0]
• C． （-∞，0]∪[1，2]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．

解答 解：画出函数f（x）和y=a（x-1）的图象，如图示：
由图象得：a≤0时，符合题意，
a＞0时，y=a（x-1）和f（x）=lnx相切时，a=1，
y=a（x-1）和f（x）=-x²+4x-3相切时，a=2，
故a∈[1，2]，
综上a∈（-∞，0]∪[1，2]，
故选：C．

点评 本题考查了对数函数以及二次函数的性质，考查数形结合思想，是一道中档题．