Question

1．若双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆x²+（y-2）²=1相切，则双曲线C的离心率是（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由双曲线方程求得渐近线方程，则x²+（y-2）²=1的圆心为（0，2），半径为1，因此圆心为（0，2）到渐近线方程为ax±by=0的距离为1，由点到直线的距离公式即可求得2b=c，a=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，根据离心率公式e=$\frac{c}{a}$，即可求得双曲线C的离心率．

解答 解：由双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上，渐近线方程为ax±by=0，
x²+（y-2）²=1的圆心为（0，2），半径为1，
由题意可知：圆心为（0，2）到渐近线方程为ax±by=0的距离为1，
即$\frac{丨±2b丨}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1，整理得：2b=c，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴双曲线C的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{\sqrt{3}b}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
故选D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式，考查转化思想，属于中档题．