Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C₁：x²+y²=4和圆C₂：（x-3）²+y²=1
（1）若直线l过点A（2，0），且被圆C₁截得的弦长为$2\sqrt{2}$，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l₁和l₂，它们分别与圆C₁和圆C₂相交，且直线l₁被圆C₁截得的弦长是直线l₂被圆C₂截得的弦长的2倍，试求所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l的方程为y=k（x-2），再利用圆C₁的圆心到l的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；
（2）设出过P点的直线l₁与l₂的点斜式方程，根据⊙C₁和⊙C₂的半径，及直线l₁被圆C₁截得的弦长是直线l₂被圆C₂截得的弦长的2，可得⊙C₁的圆心到直线l₁的距离和圆C₂的圆心到直线l₂的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．

解答 解：（1）由于A（2，0）在圆C₁上，所以直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=k（x-2），圆C₁的圆心到l的距离为d，所以d=$\sqrt{2}$．
由点到直线l的距离公式得d=$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，即k²=1，解得k=1或-1，
所以直线l的方程为y=x-2或y=-x+2，即x-y-2=0，或x+y-2=0；
（2）设点P（a，b）满足条件，
由题意分析可得直线l₁、l₂的斜率均存在且不为0，
不妨设直线l₁的方程为y-b=k（x-a），k≠0
则直线l₂方程为：y-b=-$\frac{1}{k}$（x-a），
∵⊙C₁和的半径r₁=2，⊙C₂的半径为r₁=1，圆心距O₁0₂=3，
直线l₁被圆C₁截得的弦长是直线l₂被圆C₂截得的弦长的2倍，
∴⊙C₁的圆心到直线l₁的距离是圆C₂的圆心到直线l₂的距离的2倍，
即$\frac{|b-ka|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2×$\frac{|3-kb-a|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
整理得k（a+2b）+2a-b-6=0或（2b-a）k++2a+b-6=0，
∵k的取值有无穷多个，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=0}\\{2a-b-6=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2b-a=0}\\{2a+b-6=0}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{5}}\\{b=-\frac{6}{5}}\end{array}\right.$或，$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{12}{5}}\\{b=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$
这样的点只可能是点P₁（$\frac{12}{5}$，-$\frac{6}{5}$）或点P₂（$\frac{12}{5}$，$\frac{6}{5}$）
经检验点P₁和P₂满足题目条件

点评 本题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，对称的知识，注意方程无数解的条件，考查转化思想，函数与方程的思想，常考题型，是中档题．