Question

5．当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，记S（n）=N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1）（n∈N^*），则：
（1）S（3）=16；
（2）S（n）=4^n-1．

Answer 1

分析 由题意当n∈N^*时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，利用此定义有知道N（2ⁿ）=1，当n为奇数时，N（n）=n，在从2^n-1到2ⁿ-1这2^n-1个数中，奇数和偶数各有2^n-2个．且在这2^n-2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同，那么N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1），利用累加法即可求得．

解答 解：∵N（2ⁿ）=1，
∴当n为奇数时，N（n）=n，
在从2^n-1到2ⁿ-1这2^n-1个数中，奇数有2^n-2个，偶数有2^n-2个．
在这2^n-2个偶数中，不同的偶数的最大奇因数一定不同，
从2^n-1到2ⁿ-1共有2^n-1个数，而1到2ⁿ-1共有2^n-1个不同的奇数，
故有N（2^n-1）=2¹-1=1，N（2^n-1+1）=2²-1=3，…，N（2ⁿ-1）=2ⁿ-1．
那么N（2^n-1）+N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2ⁿ-1）
=1+3+5+…+2ⁿ-1=$\frac{{2}^{n-1}（1+{2}^{n}-1）}{2}={4}^{n-1}$．
故答案为：．（1）16；         （2）4^n-1

点评 本题主要考查合情推理的应用，考查了学生对于新定义的准确理解，另外找准要求的和式具体的数据，有观察分析要求的和式的特点选择累加求和，并计算中需用等比数列的求和公式，重点是了学生的理解能力及计算能力．