Question

3．已知函数$f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-（{1+a}）x（{a∈R}）$．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥0对定义域内的任意x恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求出原函数的导函数．
（1）对a分类可得f'（x）、f（x）的变化情况表，利用表格可得函数f（x）的单调区间；
（2）求出f（1）=$-\frac{1}{2}-a$，可得a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立；a≤0时，求出函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值，也是最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范围．

解答 解：$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（{1+a}）=\frac{{{x^2}-（{1+a}）x+a}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$，
（1）①当0＜a＜1时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∴函数f（x）的单调递增区间是（0，a），（1，+∞），单调递减区间是（a，1）．
②当a＞1时，f'（x）、f（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞），单调递减区间是（1，a）．
③当a=1时，$f'（x）=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x}≥0$，此时f（x）单调递增．
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞），没有单调递减区间，
（2）由于$f（1）=-\frac{1}{2}-a$，显然a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．
当a≤0时，$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（{1+a}）=\frac{{{x^2}-（{1+a}）x+a}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$，
可得x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
函数f（x）在区间（0，+∞）的极小值，也是最小值即是$f（1）=-\frac{1}{2}-a$，此时只要f（1）≥0即可，解得$a≤-\frac{1}{2}$．
∴实数a的取值范围是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．