Question

【题目】已知函数，其中为自然对数的底数，．

（1）若恰有两个零点，求实数的取值范围；

（2）若，且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

（1）分，利用导数求函数零点个数，

（2）由（1）可知时，存在，易得．

令，．．利用导数可证明．

（1）当时，函数，只有一个零点．

当时，．

①当时，令，得，令，得，

∴在递增，在递减．

又，，

取，且，则．

故恰有两个零点．

②当时，当时，，故需时，有两个零点．

令，得，或，

若，则，故当时，，在递增，不存在两个零点．

若，则，故当时，，在递减，，

时，，单调递增，故不存在两个零点．

综上所述，实数的取值范围为．

（2）由（1）可知时，存在，且，，，

又在递增，

∴．

令，．

．

∴在递增．即，

．

∵，，又在递增，

∴，即．