Question

【题目】已知是定义在[-1，1]上的奇函数且，若ab∈[-1，1]，a+b≠0，有成立.

（1）判断函数在[-1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明.

（2）解不等式.

（3）若对所有， 恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是增函数，证明见解析;（2） ;（3）

【解析】

（1）要证明在上的单调性，应考虑定义，设出上的两个变量，作差并根据对其变形，判断出它的符号，即得其单调性；

（2）在（1）证明其单调性的基础上，结合其定义域和奇偶性，把不等式转化为关于的不等式组求解；

（3）若对所有， 恒成立，则，对恒成立，进而构造函数，可得：，解得实数的取值范围．

（1）任取，且，则，

又∵为奇函数，

∴，

由已知得，，

∴，即.

∴在上单调递增.

（2）∵在上单调递增，

∴，∴，

∴不等式的解集为.

（3）因为在[﹣1，1]上是增函数，

所以，即1是的最大值．

若对所有恒成立，

则有，对恒成立，

即恒成立．

令，它的图象是一条线段，

那么，

解得：．