题目内容
【题目】已知椭圆
的左焦点为
，点
为椭圆的左、右顶点，点
是椭圆上一点，且直线
的倾斜角为
，
，已知椭圆的离心率为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
为椭圆上异于的两点，若直线
的斜率等于直线
斜率的
倍，求四边形
面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根据离心率可求得
，利用椭圆定义和余弦定理可构造方程求得
，进而确定
，由此得到椭圆方程；
（2）设
方程为
，将直线与椭圆方程联立，可结合韦达定理求得
点坐标，同理可得
点坐标，由
整理可得关于
的函数的形式，利用对号函数可求得
的最大值.
（1）
椭圆
的离心率
，
，
设椭圆右焦点为
，连接
，则
，
在
中，由余弦定理得：
，
即
，又
解得：
，
，
，
椭圆的方程为.
（2）由（1）知：
，
，
设直线斜率为，则直线方程为，
由
得：
，
则
，
设
，则
，
，
，
，
由
可得直线
方程为
，
同理可求得：
，
由对称性，不妨设
，则四边形
的面积：
，
令
，则
（当且仅当
，即
时取等号），
，
的最大值为.
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