Question

【题目】已知函数，（其中），.

（1）若对定义域内的任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若有两个极值点，，且，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由整理可得,设,利用导函数求得的最小值,即可求解；

（2）先对求导,转化问题为方程有两个正根,,且,可得,解得,再由韦达定理可得,解得,则可整理,设,进而求得的范围即可.

（1）因为,即,

所以,

令,则,

令，则为上的增函数，

又，故时，；时，，

所以当时,；当时,,

在上单调递减,在上单调递增,

当时,的极小值为1,

因为,所以,

即a的取值范围是.

（2）,

则,

因为有两个极值点,,且,

则方程有两个正根,,且,

所以,解得,

由,得,即,

所以

,

设,

则,所以在上为减函数,

所以,所以取值范围是