Question

在青岛崂山区附近有一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域．已知小岛中心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北40km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？为什么？

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：应用题,直线与圆

分析：我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．进而可推断出以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程，及轮船航线所在直线l的方程，进而求得圆心到直线的距离，解果大于半径推断出轮船没有触礁危险．

解答： 解：我们以港口中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
这样，以小岛的中心为圆心，半径为30km的圆形区域所对应的圆的方程为x²+y²=30²①
轮船航线所在直线l的方程为

x

70

+

y

40

=1，即4x+7y-280=0②
如果圆O与直线l有公共点，则轮船有触礁危险，需要改变航向；如果O与直线l无公共点，则轮船没有触礁危险，无需改变航向．
由于圆心O（0，0）到直线l的距离d=

280

65

＞30，
所以直线l与圆O无公共点．这说明轮船将没有触礁危险，不用改变航向．

点评：本题主要考查了根据实际问题选择函数类型．解题的关键是看圆与直线是否有交点．