Question

5．已知关于x的不等式kx²-（1+k）x+1＜0（其中k∈R）．
（1）若k=-3，解上述不等式；
（2）若k＞0，求解上述不等式．

Answer 1

分析 （1）k=-3，可得：-3x²+2x+1＜0，利用一元二次不等式的解法即可得出．
（2）若k＞0，则原不等式可化为$k（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，由于k＞0，$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$．对k分类讨论即可得出．

解答 解：（1）若k=-3，则-3x²+2x+1＜0，
即3x²-2x-1＞0，即（x-1）（3x+1）＞0，
解之得$x＜-\frac{1}{3}$，或x＞1，
故原不等式的解集为$（-∞，-\frac{1}{3}）∪（1，+∞）$．
（2）若k＞0，则原不等式可化为$k（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，由于k＞0，
∴$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$．
①当k=1时，$\frac{1}{k}=1$，不等式$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$无解；
②当0＜k＜1时，$\frac{1}{k}＞1$，由$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，可得$1＜x＜\frac{1}{k}$；
③当k＞1时，$\frac{1}{k}＜1$，由$（x-1）（x-\frac{1}{k}）＜0$，可得$\frac{1}{k}＜x＜1$．
综上所述，可知：
当0＜k＜1时，原不等式的解集为$（1，\frac{1}{k}）$；
当k=1时，原不等式的解集为∅；
当k＞1时，原不等式的解集为$（\frac{1}{k}，1）$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．