Question

设如果曲线C：

x=a+2cosθ y=a+2sinθ

（θ为参数）上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（　　）

• A、（-2

  2

  ，0）
• B、（0，2

  2

  ）
• C、（-2

  2

  ，0）∪（0，2

  2

  ）
• D、（1，2

  2

  ）

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,直线与圆的位置关系,圆与圆的位置关系及其判定

专题：直线与圆

分析：由曲线C：

x=a+2cosθ y=a+2sinθ

（θ为参数）消去参数θ化为（x-a）²+（y-a）²=4．（*）．以原点为圆心，2为半径的圆的方程为x²+y²=4．根据曲线C：

x=a+2cosθ y=a+2sinθ

（θ为参数）上有且仅有两个点到原点的距离为2?（*）与x²+y²=4有且仅有两个交点，利用相交两圆的充要条件即可得出．

解答： 解：由曲线C：

x=a+2cosθ y=a+2sinθ

（θ为参数）消去参数θ化为（x-a）²+（y-a）²=4．（*）
以原点为圆心，2为半径的圆的方程为x²+y²=4．
∴曲线C：

x=a+2cosθ y=a+2sinθ

（θ为参数）上有且仅有两个点到原点的距离为2?（*）与x²+y²=4有且仅有两个交点，
因此0＜

2

|a|＜2+2，解得-2

2

＜a＜0或0＜a＜2

2

．
∴实数a的取值范围是(-2

2

，0)∪(0，2

2

)．
故选：C．

点评：本题考查了相交两圆的充要条件、把参数方程化为普通方程，属于中档题．考查了转化思想