Question

2．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的虚轴长为2$\sqrt{2}$，点M（2，1）在C上，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明：直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）把b=$\sqrt{2}$代入椭圆方程，再把点M（2，1）代入求得a值，则椭圆方程可求；
（2）设出平行于OM的直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，求出直线MA，MB的斜率，结合根与系数的关系证得直线MA，MB的斜率和为0得答案．

解答 （1）解：依题意$2b=2\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
将M（2，1）代入，得$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{2}=1$，解得a²=8，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）证明：设直线MA，MB的斜率分别为k₁，k₂，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：y=$\frac{1}{2}x$+m（m≠0），
则${k}_{1}=\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$，${k}_{2}=\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$，
∴k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}+\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-2）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$，（*）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得x²+2mx+2m²-4=0，
∴x₁+x₂=-2m，${x}_{1}{x}_{2}=2{m}^{2}-4$，
代入（*）式，得
k₁+k₂=$\frac{2{m}^{2}-4+（m-2）（-2m）-4（m-1）}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=$\frac{2{m}^{2}-4-2{m}^{2}+4m-4m+4}{（{x}_{1}-2）（{x}_{2}-2）}$=0．
∴直线MA，MB与x轴总围成等腰三角形．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．