Question

在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别是为a，b，c，若A∈（

π

2

，π），且

1

sinA

+

1

cosA

=-2

2

．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若a=

6

+

2

，b=2

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数的化简求值

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（Ⅰ）根据条件

1

sinA

+

1

cosA

=-2

2

进行化简，结合角A的取值范围即可求角A；
（Ⅱ）根据正弦定理求出sinC的值，利用三角形的面积公式进行求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵

1

sinA

+

1

cosA

=-2

2

．
∴

sinA+cosA

sinAcosA

=-2

2

，
平方得

1+2sinAcosA

(sinAcosA)2

=8，
即8（sinAcosA）²-2sinAcosA-1=0，
即2sin²2A-sin2A-1=0，
解得sin2A=1或sin2A=-

1

2

，
即sinAcosA=

1

2

或sinAcosA=-

1

4

，
∵A∈（

π

2

，π），∴sinA＞0，cosA＜0，
则sinAcosA＜0，即sinAcosA=

1

2

不成立，
即sinAcosA=-

1

4

，此时sinA+cosA=

2

2

，
解得cosA=

2 - 6

4

或

2 + 6

4

（舍去）即A=

7π

12

．
（Ⅱ）若A=

7π

12

则sinA=sin（

π

4

+

π

3

）=

2

2

+

1

2

+

2

2

×

3

2

=

2 + 6

4

，
cosA=

2 - 6

4

若a=

6

+

2

，b=2

2

，
则由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
即sinB=

bsinA

a

=

2 2 × 2 + 6 4

2 + 6

=

2

2

，则B=

π

4

，
则sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

2

2

(

2 + 6

4

+

2 - 6

4

)=

1

2

则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

1

2

×（

6

+

2

）×2

2

=1+

3

．

点评：本题主要考查正弦定理三角形面积公式的计算，根据条件结合三角函数的公式进行化简是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．