Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别是BC，CD中点，则$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$
• C． $\frac{5}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 根据矩形ABCD中$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，用$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$，求它们的数量积即可．

解答 解：矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E，F分别是BC，CD中点，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$=0，且$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
$\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DF}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=（$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$）•（$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AD}}^{2}$
=$\frac{1}{2}$×2²+$\frac{5}{4}$×0+$\frac{1}{2}$×1²
=$\frac{5}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的线性表示与数量积运算问题，是基础题．