Question

求函数f（x）=x²+2x+a-1在区间（-∞，

1

2

]上的零点．

Answer 1

考点：函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：先求出f（x）的最小值，通过讨论a的范围，结合二次函数的性质，从而得到函数零点的个数．

解答： 解：∵f（x）=（x+1）²+a-2，对称轴x=-1，
∴f（x）在（-∞，-1）递减，在（-1，

1

2

]递增，
∴f（x）_min=a-2，
当a-2＞0，即a＞2时，f（x）无零点，
当a-2=0，即a=2时，f（x）与x轴有1个交点（-1，0），
当a-2＜0，即a＜2时，令f（x）=0，解得x=-1±

2-a

，
令-1+

2-a

＞

1

2

，解得：a＜-

1

4

，
∴a＜-

1

4

时，f（x）与x轴有1个交点（-1-

2-a

，0），
-

1

4

≤a＜2时，f（x）与x轴有2个交点（-1-

2-a

，0），（-1+

2-a

，0），
综上，a＞0时，函数f（x）无零点，
a=2时，函数f（x）有一个零点x=-1，
-

1

4

≤a＜2时，函数f（x）有2个零点x=-1±

2-a

，
a＜-

1

4

时，函数f（x）有1个零点x=-1-

2-a

．

点评：本题考查了函数的零点问题，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道中档题．