Question

已知x∈（0，π），且sinx+cosx=

1

2

，求：
（1）sinx-cosx的值；
（2）sin2x+cos2x的值．

Answer 1

分析：（1）依题意可知

π

2

＜x＜π，从而可求得sinx-cosx的值；
（2）可求得sinx，cosx的值后，利用二倍角公式可求得sin2x，cos2x的值，继而可得sin2x+cos2x的值．

解答：解：（1）∵sinx+cosx=

1

2

，
∴（sinx+cosx）²=

1

4

，
即1+2sinxcosx=

1

4

，
∴2sinxcosx=-

3

4

，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=1+

3

4

=

7

4

，
又x∈（0，π），
∴sinx＞0，cosx＜0，
∴sinx-cosx＞0，
sinx-cosx=

7

2

；
（2）∵sinx+cosx=

1

2

，sinx-cosx=

7

2

；
∴sinx=

7 +1

4

，cosx=

1- 7

4

，
∴cos2x=cos²x-sin²x=(

1- 7

4

)2-(

1+ 7

4

)2=-

7

4

，
∴sin2x+cos2x=-

3

4

-

7

4

=-

7 +3

4

．

点评：本题考查二倍角的余弦，考查同角三角函数间的基本关系，求得sinx，cosx的值是关键，属于中档题．