Question

19．设m∈R，直线x+my=0与直线mx-y-2m+4=0交于点P（x，y），则点P到直线l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3距离的最大值为3+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 直线x+my=0与直线mx-y-2m+4=0垂直，并且分别过定点（0，0），（2，4），从而得到点P的轨迹为以（1，2）为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆，圆心（1，2）到直线l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3的距离d=$\frac{|-3|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=3$＞\sqrt{5}$，由此能求出点P到直线l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3距离的最大值．

解答 解：∵直线x+my=0与直线mx-y-2m+4=0垂直，并且分别过定点（0，0），（2，4），
m∈R，直线x+my=0与直线mx-y-2m+4=0交于点P（x，y），
∵（0，0），（2，4）两点所成线段的中点为（1，2），所成线段长为$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴点P的轨迹为以（1，2）为圆心，$\sqrt{5}$为半径的圆，
圆心（1，2）到直线l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3的距离d=$\frac{|-3|}{\sqrt{co{s}^{2}θ+si{n}^{2}θ}}$=3$＞\sqrt{5}$，
∴点P到直线l：（x-1）cosθ+（y-2）sinθ=3距离的最大值为$3+\sqrt{5}$．
故答案为：3+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查点到直线的距离的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点的轨迹方程、圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．