Question

9．（1）用反证法证明：已知实数a，b，c满足a+b+c=1，求证：a、b、c中至少有一个数不大于$\frac{1}{3}$
（2）用分析法证明：$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 （1）根据题意，通过反证法假设结论不成立，通过得出与已知a+b+c=1矛盾，可得结论；
（2）寻找使不等式成立的充分条件，要是不等式成立，只要证 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，即证$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
即证 42＞40．

解答 证明：（1）假设a、b、c都大于$\frac{1}{3}$，则a+b+c＞1，这与已知a+b+c=1矛盾．
故a、b、c中至少有一个不大于$\frac{1}{3}$…（6分）
（2）要证$\sqrt{6}$+$\sqrt{7}$＞2$\sqrt{2}$+$\sqrt{5}$，
只要证 6+7+2$\sqrt{42}$＞8+5+4$\sqrt{10}$，
只要证$\sqrt{42}$＞2$\sqrt{10}$，
即证42＞40． 
而42＞40  显然成立，
故原不等式成立…（12分）

点评 本题考查反证法的应用，涉及分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，属于中档题．