Question

已知函数f（x）=2cos²x+

3

sin2x，g（x）=

1

2

f（x+

5π

12

）+ax+b，其中a，b为非零实常数．
（1）若f（α）=1-

3

，α∈[-

π

3

，

π

3

]，求α的值
（2）若x∈R，讨论g（x）的奇偶性，并证明你的结论
（3）已知对任意x₁，x₂∈R，恒有|sinx₁-sinx₂|≤|x₁-x₂|，当且仅当x₁=x₂时等号成立，若g（x）是上R的增函数，根据上述结论，求a的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数奇偶性的判断

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，利用α范围和函数解析式求得α的值．
（2）根据f（x）的范围确定g（x）的范围，对b=-

1

2

时和；b≠-

1

2

时分类讨论．
（3）设x₁＜x₂，表示出g（x₂）-g（x₁）根据函数的单调性，判断出g（x₂）-g（x₁）＞0，推断出a＞

sin2x2-sin2x1

x2-x1

，进而根据|

sin2x2-sin2x1

x2-x1

|＜

|2x2-2x1|

x2-x1

=2求得a范围．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∴f（α）=2sin（2α+

π

6

）+1=1-

3

，
sin（2α+

π

6

）=-

3

2

，
∵α∈[-

π

3

，

π

3

]，
∴2α+

π

6

∈[-

π

2

，

5π

6

]，
∴2α+

π

6

=-

π

3

，
∴α=-

π

4

（2）g(x)=-sin2x+ax+b+

1

2

，
所以b=-

1

2

时，g（x）为奇函数；b≠-

1

2

时，g（x）为非奇非偶函数．
（3）设x₁＜x₂，则g（x₂）-g（x₁）=sin2x₁-sin2x₂+a（x₂-x₁）
因为，g（x）是R上的增函数，所以g（x₂）-g（x₁）=sin2x₁-sin2x₂+a（x₂-x₁）＞0恒成立
又x₂-x₁＞0，
∴a＞

sin2x2-sin2x1

x2-x1

恒成立，
又∵|

sin2x2-sin2x1

x2-x1

|=2•|

sin2x2-sin2x1

2x2-2x1

|≤2，
∴a≥2．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，函数的单调性和奇偶性．考查了学生分析问题和推理的能力．