Question

已知数列{a_n}的通项公式是a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，设{a_n}的前n项和为S_n，则

1

S1

+

1

S2

+

1

S4

+…+

1

Sn

=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，可求得S_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），于是

1

Sn

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，从而可求答案．

解答： 解：∵a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，
∴当n≥2时，S_n=a₁+a₂+…+a_n=2+（4+6+8+10+…+2n+2）=2+

n(4+2n+2)

2

=n²+3n+2，
当n=1时，a₁=6，也满足上式；
∴S_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），
∴

1

Sn

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S4

+…+

1

Sn

=（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n+1

-

1

n+2

）
=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

．
故答案为：

n

2(n+2)

．

点评：本题考查数列的求和，由数列{a_n}的通项公式a_n=

6，n=1 2n+2，n≥2

，求得S_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2）是关键，也是难点，考查裂项法的应用，属于难题．