Question

已知点F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF₂是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意利用双曲线的对称性，可知△ABC为等腰三角形，所以△ABF₂为钝角三角形．因此只要∠AF₂B为钝角即可，由此建立关于a、b、c的不等式，解之即可得出该双曲线离心率的取值范围．

解答： 解：根据题意，可得|AB|=

2b2

a

，|F₁F₂|=2c，
由双曲线的对称性，可知△ABF₂为等腰三角形，
只要∠AF₂B为钝角，即|AF₁|＞|F₁F₂|即可．
∴不等式

b2

a

＞2c，化简得c²-a²＞2ac，
两边都除以a²，可得e²-2e-1＞0
解之得e∈(1+

2

，+∞)，负值舍去．
故答案为：(1+

2

，+∞)

点评：本题考查双曲线的离心率和钝角三角形的判断等知识，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘，本题属于中档题．