Question

设a为正实数，函数f（x）=ae^x（e为自然对数的底数）的图象与y轴的交点为A，函数g（x）=ln

x

a

的图象与x轴的交点为B，若点A到函数g（x）的图象上的任意一点的线段长的最小值为|AB|．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）对任意x＞0且x≠1，

x-m

g(x)

＞

x

恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由题意求出A（0，2a）、B（a，0），由|AB|取到最小值的条件求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=lnx，代入

x-m

g(x)

＞

x

化简，对x分类讨论，分别化简不等式，并构造函数h（x），利用导数判断出h（x）的单调性并求出最值，再求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意得f（0）=a•e⁰=a，则A（0，a），
由g（x）=ln

x

a

=0解得x=a，则B（a，0），
若使A到B的长度为A到另一条曲线上任意点间距离的最小值，
则直线AB必垂直于曲线y=g（x）在B点的切线，
又g′（x）=

a

x

×

1

a

=

1

x

，kAB=

a-0

0-a

=-1，
所以

1

a

×(-1)=-1，解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，g（x）=lnx，则

x-m

g(x)

＞

x

为：

x-m

lnx

＞

x

，
当x＞1时，

x-m

lnx

＞

x

等价于x-m＞

x

lnx，即m＜x-

x

lnx，
令h（x）=x-

x

lnx（x＞1），
则h′（x）=1-

1

2 x

lnx-

x

×

1

x

=1-

lnx+2

2 x

＞0，
所以函数h（x）在（1，+∞）是增函数，h（x）＞h（1）=1，即m≤1；
当0＜x＜1时，

x-m

lnx

＞

x

等价于x-m＜

x

lnx，即m＞x-

x

lnx，
令h（x）=x-

x

lnx（0＜x＜1），同理h′（x）=1-

lnx+2

2 x

＜0，
所以函数h（x）在（0，1）是减函数，h（x）＜h（0），即m≥0；
综上得，实数m的取值范围是[0，1]．

点评：本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值的关系，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，考查转化思想和构造法，属于中档题．