Question

在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b=1，B=

π

3

，
（1）求a+c的最大值；
（2）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,解三角形,不等式的解法及应用

分析：（1）依余弦定理得1²=a²+c²-2accos

π

3

，可得a²+c²-ac=1，利用基本不等式，即可求a+c的最大值；
（2）确定ac≤1，即可求△ABC面积的最大值．

解答： 解：（1）依余弦定理得1²=a²+c²-2accos

π

3

，
∴a²+c²-ac=1，
∴（a+c）²=1+3ac≤1+

3

4

（a+c）²，
∴a+c≤2，
∴a+c的最大值2；
（2）由上有a²+c²-ac=1，
∴ac=（a²+c²）-1≥2ac-1，
∴ac≤1，
∴S=

1

2

ac•sin

π

3

≤

3

4

，即△ABC面积最大值为

3

4

．

点评：本题考查余弦定理，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．