题目内容
已知数列{an}满足：a1＝
，且an＝
(n≥2，n∈N+)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：对一切正整数n，不等式a1×a2…an＜2×n！恒成立．
答案：
解析：
提示：
解析：
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解：(1)将条件变为：1－ 因此，数列{1－ 据此得an＝ (2)证明：据①得， a1×a2…an＝ 为证a1a2…an＜2n!， 只要证n∈N+时有(1－ 显然，左端每个因式皆为正数，先证明，对每个n∈N+， (1－ 用数学归纳法证明③式； (Ⅰ)n＝1时，显然③式成立， (Ⅱ)假设n＝k时，③式成立． 即(1－ 则当n＝k＋1时， (1－ ＝1－( 即当n＝k＋1时，③式也成立． 故对一切n∈N+，③式都成立． 利用③，得(1－ ＝1－ 思路分析：由题设条件知，可用构造新数列的方法求得an；第(2)问的证明，可以等价变形，视为证明新的不等式． |
，
}为一个等比数列，其首项为1－
＝
，公比为
n，
(n≥1)．①
)…(1－
)＞
．②
)…(1－
)≥1－(
)，
)≥[1－(
)
)≥1－(
)
＝1－提示：
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本题提供了用数学归纳法证明相关问题的一种证明思路，即要证明的不等式不一定非要用数学归纳法去直接证明，我们通过分析法、综合法等方法的分析，可以找到一些证明的关键，“要证明……”，“只需证明……”，转化为证明其他某一个条件，进而说明要证明的不等式是成立的． |
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