Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n-85，n∈N^*
（Ⅰ）证明：{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S_n＜n-

455

12

？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列递推式,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由a₁=-14，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，由此能证明数列{a_n-1}是等比数列．
（Ⅱ）由an-1=-15•(

5

6

)n-1，得an=1-15•(

5

6

)n-1，从而Sn=75•(

5

6

)n-1+n-90，由此能求出存在最小的n=4．

解答： （Ⅰ）证明：当n=1时，a₁=-14，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-5a_n+5a_n-1+1，
所以an-1=

5

6

(an-1-1)，…．（4分）
又a₁-1=-15≠0，
所以数列{a_n-1}是等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：an-1=-15•(

5

6

)n-1，
得an=1-15•(

5

6

)n-1，
所以Sn=n-15×[(

5

6

)0+

5

6

+(

5

6

)2+…+(

5

6

)n-1]
=n-15×

1-( 5 6 )n

1- 5 6

，
从而Sn=75•(

5

6

)n-1+n-90（n∈N^*），…．（8分）
由S_n＜n-

455

12

  ，
得(

5

6

)n-1＜

25

36

，又n＞3，故存在最小的n=4…．（12分）

点评：本题考查等比数列的证明，考查满足条件的实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．