Question

某企业原来每年可生产某种设备65件，每件设备的销售价格为10万元，为了增加企业效益，该企业今年准备投入资金x万元对生产工艺进行革新，已知每投入10万元资金生产的设备就增加1件，同时每件设备的生产成本a万元与投入资金x万元之间的关系是a=

25

x+25

，若设备的销售价格不变，生产的设备能全部卖出，投入资金革新后的年利润为y万元（年利润=年销售额-年投入资金额-年生产成本）．
（Ⅰ）试将该企业的年利润y万元表示为投入资金x万元的函数；
（Ⅱ）该企业投入资金为多少万元时，企业的年利润最大？并求出最大利润．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先求出生产成本，再将该企业的年利润y万元表示为投入资金x万元的函数；
（Ⅱ）利用基本不等式求最值即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，投入资金x万元资金革新后生产设备（65+

1

10

x）件，
∴生产成本为

25

x+25

•（65+

1

10

x）万元，
∴该企业的年利润y=（65+

1

10

x）×10-x-

25

x+25

•（65+

1

10

x）=650-

5(x+650)

2 x+25

（x≥0）；
（Ⅱ）∵

x+650

x+25

=

x+25

+

625

x+25

≥2

625

=50，
当且仅当

x+25

=

625

x+25

，即x=600时取等号，
∴y=650-

5(x+650)

2 x+25

≤650-

5

2

×50=525，
∴该企业投入资金为600万元时，企业的年利润最大，最大利润为525万元．

点评：本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键．