题目内容
16．设O为坐标原点，F1，F2是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点M，满足∠F1MF2=60°，|OM|=2a，则该双曲线的渐近线方程为（ ）| A． | x±2y=0 | B． | 2x±y=0 | C． | x±y=0 | D． | $\sqrt{2}x±y=0$ |
分析 设M为右支上一点，|F1M|=s，|MF2|=t，运用余弦定理和双曲线的定义、中线长公式，化简整理，解方程可得离心率和渐近线方程．
解答 解：在△F1MF2中，∠F1MF2=60°，|OM|=2a，
设M为右支上一点，|F1M|=s，|MF2|=t，
即有s2+t2-2stcos60°=4c2，①
又s-t=2a②，2（s2+t2）=4c2+16a2③
联立①②③可得c2=2a2，a=b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，即为y=±x．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形中的余弦定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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4．M={x|5-x≥$\sqrt{2（x-1）}$}，N={x|x2-ax≤x-a}，当M?N时，a的取值范围是（ ）
| A． | a≥3 | B． | a≤3 | C． | a＜3 | D． | a＞3 |
如图，菱形ABCD与正三角形BCE的边长均为2，它们所在平面互相垂直，FD⊥平面ABCD，且$FD=\sqrt{3}$．
8．已知椭圆C1：$\frac{x^2}{{{a_1}^2}}+\frac{y^2}{{{b_1}^2}}=1（{a_1}＞{b_1}＞0）$与双曲线C2：$\frac{x^2}{{{a_2}^2}}-\frac{y^2}{{{b_2}^2}}=1（{a_2}＞0，{b_2}＞0）$有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，当4e12+e22取得最小值时，C1的离心率e1等于（ ）
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $\frac{1}{3}$ |
如图所示，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF=$\frac{1}{2}$AB，PH为△PAD中AD边上的高．