Question

1．满足$\left\{\begin{array}{l}{3x-y+2≥0}\\{3x+2y-4≤0}\\{y+1≥0}\end{array}\right.$，则z=x²+y²-4x-2y的取值范围是-$\frac{29}{13}$≤z≤8．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合两点间的距离公式进行求解即可．

解答 解：z=x²+y²+-4x-2y=（x-2）²+（y-1）²-5，
设m=（x-2）²+（y-1）²，则m的几何意义是区域内的点到点Q（2，1）的距离的平方，
作出不等式组对应的平面区域如图，

则点Q到直线3x+2y-4=0的距离最小，此时d=$\frac{|6+4-4|}{\sqrt{9+4}}$=$\frac{6\sqrt{13}}{13}$，
AQ的距离最大，由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{3x-y+2=0}\end{array}\right.$得A（-1，-1），
则AQ=$\sqrt{（2+1）^{2}+（1+1）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
则$\frac{36}{13}$≤m≤13，
即$\frac{36}{13}$-5≤z≤13-5，即-$\frac{29}{13}$≤z≤8
故答案为：-$\frac{29}{13}$≤z≤8．

点评 本题主要考查线性规划的应用，根据零点间的距离公式，结合数形结合是解决本题的关键．