Question

6．若数列{a_n}的通项公式${a_n}=\frac{1}{{{{（n+1）}^2}}}（n∈{N^*}）$，记f（n）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
（1）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（2）由（1）猜想f（n），并证明．

Answer 1

分析 （1）根据公式计算；
（2）猜想结论，利用数学归纳法证明．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{（1+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，a₂=$\frac{1}{（2+1）^{2}}$=$\frac{1}{9}$，a₃=$\frac{1}{（3+1）^{2}}$=$\frac{1}{16}$．
∴f（1）=1-a₁=$\frac{3}{4}$，
f（2）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）=$\frac{2}{3}$，
f（3）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{9}$）（1-$\frac{1}{16}$）=$\frac{5}{8}$．
（2）猜想：$f（n）=\frac{n+2}{2n+2}$，
证明如下：
当n=1时，结论显然成立，
假设n=k时，结论成立，即f（k）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）=$\frac{k+2}{2k+2}$，
则当n=k+1时，f（k+1）=（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_k）（1-a_k+1）=f（k）（1-a_k+1）
=$\frac{k+2}{2k+2}$•（1-$\frac{1}{（k+2）^{2}}$）=$\frac{k+2}{2k+2}$•（1+$\frac{1}{k+2}$）（1-$\frac{1}{k+2}$）=$\frac{k+2}{2k+2}$•$\frac{k+3}{k+2}$•$\frac{k+1}{k+2}$=$\frac{k+3}{2（k+2）}$=$\frac{k+1+2}{2（k+1）+2}$．
∴当n=k+1时，结论成立，
综上，对任意正整数n∈N，都有$f（n）=\frac{n+2}{2n+2}$．

点评 本题考查了数学归纳法猜想并证明，属于中档题．