Question

已知a＞0，函数f（x）=|

x-a

x+2a

|
（1）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；
（2）是否存在a，使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的最值及其几何意义

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论，结合导数确定函数的单调性，从而可得g（a）的表达式；
（2）利用曲线y=f（x）在两点处的切线互相垂直，建立方程，从而可转化为集合的运算，即可求得结论．

解答： 解：（1）当0≤x≤a时，f(x)=

a-x

x+2a

；
当x＞a时，f（x）=

x-a

x+2a

．
∴x∈（0，a）时，f′（x）=

-3a

(x+2a)2

＜0，f（x）在（0，a）上单调递减；x＞a时，f′（x）=

3a

(x+2a)2

＞0，f（x）在（a，+∞）上单调递增
①当a≥4时，f（x）在区间[0，4]上单调递减，g（a）=f（0）=

1

2

．
②当0＜a＜4时，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，
又f（0）=f（4）=

a-1

2+a

，
∴0＜a≤1时，g（a）=f（4）=

4-a

4+2a

，
当1＜a＜4时，g(a)=f(0)=

1

2

．
综上所述，g(a)=

4-a 4+2a ，0＜a≤1 1 2 ，a＞1.

…（7分）
（2）由（1）知，当a≥4时，则f（x）在（0，4）上单调递减，故不满足要求；当0＜a＜4时，则f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，4）上单调递增，
若存在x₁，x₂∈（0，4）（x₁＜x₂），
使曲线y=f（x）在（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂））两点处的切线互相垂直，
则x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），且f'（x₁）f'（x₂）=-1，即

-3a

(x1+2a)2

•

3a

(x2+2a)2

=-1亦即x1+2a=

3a

x2+2a

…..（*）
由x₁∈（0，a），x₂∈（a，4），得x1+2a∈(2a，3a)，

3a

x2+2a

∈(

3a

4+2a

，1)
故（*）式成立等价于集合A=（2a，3a）与集合B=(

3a

4+2a

，1)的交集非空．
∵

3a

4+2a

＜3a，
∴当且仅当0＜2a＜1，即0＜a＜

1

2

时，A∩B≠∅．
综上所述，存在a，使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是(0，

1

2

)．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，正确分类是关键．