Question

【题目】已知直三棱柱的底面为正三角形，分别是，上的点，且满足，．

（1）求证：平面平面；

（2）设直三棱柱的棱均相等，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】（1）取的中点，连接．

因为，，所以．…………2分

在等边中，由是的中点，知，所以．

因为三棱柱是直三棱柱，所以平面，…………3分

又因为平面，所以．

而，所以平面．

又平面，所以平面平面．…………5分

（2）以为坐标原点，以分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．………6分

设直三棱柱的棱均为，则，，，

所以，．………8分

设是平面的一个法向量，则

由，得，取，则．………9分

易知平面的一个法向量，………10分

所以．…………11分

由图易知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．……12分

【命题意图】本题主要考查空间平面与平面的垂直关系、运用空间向量求二面角，意在考查逻辑思维能力、

空间想象能力、逻辑推证能力、计算能力．