Question

【题目】已知y=f（x）是偶函数，定义x≥0时，f（x）=
（1）求f（﹣2）；
（2）当x＜﹣3时，求f（x）的解析式；
（3）设函数y=f（x）在区间[﹣5，5]上的最大值为g（a），试求g（a）的表达式．

Answer 1

【答案】
（1）解：已知y=f（x）是偶函数，故f（﹣2）=f（2）=2（3﹣2）=2
（2）解：当x＜﹣3时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x﹣3）（a+x）=﹣（x+3）（a+x），

所以，当x＜﹣3时，f（x）的解析式为f（x）=﹣（x+3）（a+x）

（3）解：因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，

①当a≤3时，f（x）在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ，

②当3＜a≤7时，f（x）在 与 上单调递增，在 与 上单调递减，

所以此时只需比较 与 的大小．

（A）当3＜a≤6时， ≥ ，所以

（B）当6＜a≤7时， ＜ ，所以g（a）=

③当a＞7时，f（x）在 与[3，5]上单调递增，在 上单调递减，且 ＜f（5）=2（a﹣5），所以g（a）=f（5）=2（a﹣5），

综上所述，g（a）=

【解析】（1）已知y=f（x）是偶函数，故f（﹣2）=f（2）=2（3﹣2）=2； （2）当x＜﹣3时，f（x）=f（﹣x）=（﹣x﹣3）（a+x）=﹣（x+3）（a+x），（3）因为f（x）是偶函数，所以它在区间[﹣5，5]上的最大值即为它在区间[0，5]上的最大值，在这两段上分别研究二次函数的区间上的最值即可．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．