Question

【题目】已知函数.

（1）若不存在极值点，求的取值范围；

（2）若，证明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）详见解析

【解析】（1）的定义域为，且，

设，则.

①当，即时， ，所以在上单调递增；

又， ，即，

所以在上恰有一个零点，

且当时， ；当时， ；

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，不合题意.

（2）当，即时，令，得，

当时， ；当时， ；

即在上单调递减，在上单调递增.

①当即时， 恒成立，

即在上单调递增，无极值点，符合题意.

②当，即时， ，

所以，所以在上恰有一个零点，

且当时， ；当时， ；

即在上单调递减，在上单调递增，

所以是的极小值点，不合题意.

综上， 的取值范围是；

（2）因为， ，所以，

要证明，只需证明，

当时，因为，

所以成立；

当时，设，

则，

设，则，

因为，所以，

所以在上单调递增，

所以，即，

所以在上单调递增，

所以，即，

综上，若，则.