Question

16．已知曲线y=2x²-7．
（1）求曲线在点P（3，11）处的切线方程；
（2）求曲线过点P（3，9）的切线方程；
（3）求斜率为4的曲线的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，即可求曲线在点P（3，11）处的切线方程；
（2）设切点坐标，可得切线方程，将P（3，9）及y₀=2x₀²-7代入求出切点坐标，从而可求出切线方程；
（3）利用斜率为4，求出切点坐标，即可求斜率为4的曲线的切线方程．

解答 解：（1）∵y=2x²-7，∴y′=4x，
x=3时，y′=12，∴曲线在点P（3，11）处的切线方程为y-11=12（x-3），即12x-y-25=0；
（2）∵y=2x²-7，∴y′=4x
设切点坐标为（x₀，y₀），则切线方程为y-y₀=4x₀（x-x₀）．
将P（3，9）及y₀=2x₀²-7代入，可得9-（2x₀²-7）=4x₀（3-x₀），
解得x₀=2或x₀=4，
∴设切点坐标为（2，1）或（4，25），
∴曲线过点P（3，9）的切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0；
（3）由y′=4x=4，可得x=1，∴y=-5，
∴斜率为4的曲线的切线方程为y+5=4（x-1），即4x-y-9=0．

点评 本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了计算能力和转化的思想，解曲线的切线问题要特别注意是“在”还是“过”点．属于中档题．