Question

14．△ABC的内角A，B，C对的边为a，b，c，向量$\overrightarrow m=（{a，\sqrt{3}b}）$与$\overrightarrow n=（{cosA，sinB}）$平行．
（1）求角A；
（2）若a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，由向量$\overrightarrow{m}$、$\overrightarrow{n}$平行，结合向量平行的坐标表示公式可得$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，进而变形可得$sinAsinb=\sqrt{3}sinBcosA$，即可得tanA的值，结合A的范围可得答案；
（2）根据题意，有a与A的值，结合正弦定理可得2R=$\frac{2}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，进而可得b+c=2R（sinB+sinC），进而变形可得b+c=4sin（B+$\frac{π}{6}$），分析可得sin（B+$\frac{π}{6}$）的范围，计算可得b+c的范围．

解答 解：（1）根据题意，由于$\overrightarrow m=（{a，\sqrt{3}b}）$与$\overrightarrow n=（{cosA，sinB}）$平行，
则有$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
∴$sinAsinb=\sqrt{3}sinBcosA$，
∵sinB≠0，
∴$tanA=\sqrt{3}$，
又由0＜A＜π，则A=$\frac{π}{3}$；
（2）a=2，A=$\frac{π}{3}$，
由正弦定理可得：2R=$\frac{2}{sinA}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；
∴$b+c=2R（{sinB+sinC}）=2R（{sinB+sin（{\frac{2π}{3}-B}）}）=4sin（{B+\frac{π}{6}}）$，
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（{B+\frac{π}{6}}）≤1$，
∴2＜b+c≤4．

点评 题考查了正弦定理的应用，涉及向量平行的坐标表示公式和两角和差的正弦函数公式，关键是求出A的值．