Question

7．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≤M成立，则称f（x）是D上的确界函数，其中M称为函数f（x）的上确界，已知函数f（x）=1-3•2^x+a•4^x．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为确界函数，请说明理由；
（2）若函数f（x）在（-∞，0]上是以4为上确界的确界函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时令t=2^x ，由x＞0 可得t＞1，根据二次函数的性质即可求出值域，再根据g（t）的值域，故不存在常数M，使f（x）≤M成立，从而得出结论．  
（2）由题意知当x＜0时，f（x）≤4恒成立，利用换元和分离参数，构造函数，求出函数的最小值，从而得到a的范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=1-3•2^x+4^x．
令t=2^x ，由x＞0 可得t＞1，f（x）=h（t）=t²-3t+1=（t-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥-$\frac{5}{4}$，
∴函数f（x）在（0，+∞）上的值域为[-$\frac{5}{4}$，+∞）
∵f（x）没有最大值，
∴函数f（x）在（-∞，0]上不是确界函数；，
（2）若函数f（x）在（-∞，0]上是以4为上确界的确界函数，
则当x＜0时，f（x）≤4恒成立．
f（x）=1-3•2^x+a•4^x≤4恒成立，
设2^x=t，则0＜t≤1，
∴f（t）=1-3t+at²≤4，
∴a≤$\frac{3t+3}{{t}^{2}}$在（0，1]上恒成立，
设g（t）=$\frac{3t+3}{{t}^{2}}$，
∴g′（t）=3（-$\frac{1}{t}$-$\frac{2}{{t}^{3}}$）＜0恒成立，
∴g（t）在（0，1]上单调递减，
∴g（t）≤g（1）=6，
∴a≤6，
即a的范围为（-∞，6]．

点评 本题主要考查指数函数的性质、新定义，函数的恒成立问题，求函数的值域，属于中档题．