Question

已知函数f（x）=x²-4|x|+2，若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为2，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由题意得函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，令f（x）=2可得 x=-4，或x=0，或 x=4，当-1＜a≤0时，应有2a+1≥0，当a＞0时，应有2a+1=4，从而求出a的范围．

解答： 解：函数f（x）=x²-4|x|+2是偶函数，图象关于y轴对称． 
且f（x）=

x2-4x+2，x≥0 x2+4x+2，x＜0

，
令f（x）=2可得 x=-4，或x=0，或 x=4．
若f（x）在区间[a，2a+1]上的最大值为2，
∴a＜2a+1，解得a＞-1．
当-1＜a≤0时，应有2a+1≥0，由此求得-

1

2

≤a≤0．
当a＞0时，应有2a+1=4，解得 a=

3

2

．
综上可得，a的取值范围为[-

1

2

 0]∪{

3

2

}，
故答案为[-

1

2

，0]∪{

3

2

}．

点评：本题考查了二次函数的性质，函数的单调性，偶函数的性质，是一道中档题．