Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，n∈N^*，且a₅+a₆=24，S₃=15．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₅+a₆=24，S₃=15．
∴2a₁+9d=24，3a₁+3d=15，
解得a₁=3，d=2．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{4}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{n}{4（n+1）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．