Question

20．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在区间[0，1]内至少有一个零点，则a²+2b（　　）

• A． 有最小值，但无最大值
• B． 有最大值，但无最小值
• C． 既无最小值，也无最大值
• D． 既有最小值，也有最大值

Answer 1

分析 利用根的存在性定理求出a，b的取值范围，再利用等式表示出b，代入t=a²+2b，
得出关于a二次函数，由二次函数的图象与性质得出结论．

解答 解：函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）在区间[0，1]内至少有一个零点，
则f（0）•f（1）=b（a+b+1）≤0；
画出不等式组表示的平面区域如图所示，a、b∈R；
把等式看成关于a，b的直线方程：x²+xa+b=0，
则b=-ax-x²，
t=a²+2b=a²-2ax-2x²=（a-x）²-3x²；
是关于a二次函数，图象开口向上，
且a=x时t有最小值-3x²，无最大值．
故选：A．

点评 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了转化思想的应用问题．