Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n＝3ⁿ－1.

(1) 求数列{a_n}的通项公式；

(2) 若b_n＝log(S_n＋1)，求数列{b_na_n}的前n项和T_n.

Answer 1

解：(1) 当n＝1时，a₁＝S₁＝2，

当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝(3ⁿ－1)－(3^n－1－1)＝2×3^n－1，

综上所述，a_n＝2×3^n－1.

(2) b_n＝log(S_n＋1)＝log3ⁿ＝－n，

所以b_na_n＝－2n×3^n－1，

T_n＝－2×1－4×3¹－6×3²－…－2n×3^n－1，

3T_n＝－2×3¹－4×3²－…－2(n－1)×3^n－1－2n×3ⁿ，

相减，得

－2T_n＝－2×1－2×3¹－2×3²－…－2×3^n－1＋2n×3ⁿ

＝－2×(1＋3¹＋3²＋…＋3^n－1)＋2n×3ⁿ，

所以T_n＝(1＋3¹＋3²＋…＋3^n－1)－n×3ⁿ＝－n×3ⁿ

＝－，n∈N^*.