Question

13．已知函数f（x）满足$f（x）=f（\frac{1}{x}）$，当x∈[1，4]时，f（x）=lnx，若在区间$[{\frac{1}{4}\;，\;4}]$内，曲线g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同交点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{e}\;，\;ln4}]$
• B． $（{\frac{1}{2e}\;，\;ln4}]$
• C． $[{\frac{ln4}{4}\;，\;\frac{1}{2e}}）$
• D． $[{\frac{ln4}{4}\;，\;\frac{1}{e}}）$

Answer 1

分析 求出f（x）在[$\frac{1}{4}$，4]上的解析式，做出f（x）的函数图象，根据y=ax与y=f（x）有3个交点得出a的范围．

解答 解：当x∈[$\frac{1}{4}$，1]时，$\frac{1}{x}$∈[1，4]，∴f（x）=ln$\frac{1}{x}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln\frac{1}{x}，\frac{1}{4}≤x＜1}\\{lnx，1≤x≤4}\end{array}\right.$．
令g（x）=0得f（x）=ax，
做出y=f（x）的函数图象如图所示：

设y=k₁x过点（4，ln4），则k₁=$\frac{ln4}{4}$，
设y=k₂x与y=lnx相切，切点为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{2}{x}_{0}}\\{{y}_{0}=ln{x}_{0}}\\{{k}_{2}=\frac{1}{{x}_{0}}}\end{array}\right.$，解得x₀=e，y₀=1，k₂=$\frac{1}{e}$．
∵在区间$[{\frac{1}{4}\;，\;4}]$内，曲线g（x）=f（x）-ax与x轴有三个不同交点，
∴y=f（x）与y=ax的函数图象在[$\frac{1}{4}$，4]上有3个交点．
∴$\frac{ln4}{4}≤a＜\frac{1}{e}$．
故选D．

点评 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，做出f（x）的函数图象是解题关键，属于中档题．