Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{{x}^{2}+4x+1，x≤0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，则由点（b，c）确定的平面区域的面积为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据f（x）的函数图象判断f（x）=t的根的个数情况，从而得出关于t的方程t²-bt+c=0的解的分布情况，利用二次函数的性质列出不等式组，作出可行域即可得出答案．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示：

设f（x）=t，则当t＜-3时，方程f（x）=t无解，
∴当t=-3时，方程f（x）=t只有1解，
当-3＜t＜0时，方程f（x）=t有2解，
当t=0或t＞1时，方程f（x）=t有3解，
当0＜t≤1时，方程f（x）=t有4解，
∵关于x的方程f²（x）-bf（x）+c=0（b，c∈R）有8个不同的实数根，
∴关于t的方程t²-bt+c=0在（0，1]上有两解，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{0＜\frac{b}{2}＜1}\\{{b}^{2}-4c＞0}\\{1-b+c≥0}\end{array}\right.$，
做出平面区域如图所示：

联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得b=2，c=1．
∴由点（b，c）确定的平面区域的面积为S=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了方程根的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，线性规划的应用，属于中档题．