Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且3S_n=2×4ⁿ-2，n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）设数列{b_n}满足b_n=log₂a_n，求T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$的表达式（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （I）运用数列递推式：当n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．化简整理即可得到所求通项公式；
（II）求得b_n=log₂a_n=log₂2×4^n-1=2n-1，$\frac{1}{{b}_{k}{b}_{k+1}}$=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$），运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求和．

解答 解：（I）当n=1时，3a₁=3S₁=2×4-2=6，解得a₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3}$（2×4ⁿ-2-2×4^n-1+2）=2×4^n-1．
当n=1时也成立．
则数列{a_n}的通项公式a_n=2×4^n-1．
（II）b_n=log₂a_n=log₂2×4^n-1=2n-1，
$\frac{1}{{b}_{k}{b}_{k+1}}$=$\frac{1}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2k-1}$-$\frac{1}{2k+1}$），
则T_n=$\frac{1}{{b}_{1}{b}_{2}}$+$\frac{1}{{b}_{2}{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式：当n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．考查数列的求和方法：裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题．