Question

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F₁，F₂，若|F₁F₂|²=λ|AF₁|•|BF₂|（0＜λ＜4），则离心率e的取值范围是$（0，\frac{1}{2}）$．

Answer 1

分析 由已知可得：A（-a，0），B（a，0），左、右焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0）．根据|F₁F₂|²=λ|AF₁|•|BF₂|，可得λ=$\frac{4{c}^{2}}{（a-c）^{2}}$=$\frac{4{e}^{2}}{1-2e+{e}^{2}}$，利用0＜λ＜4，解出即可得出．

解答 解：∵A（-a，0），B（a，0），左、右焦点分别是F₁（-c，0），F₂（c，0）．
∵|F₁F₂|²=λ|AF₁|•|BF₂|，
∴λ=$\frac{4{c}^{2}}{（a-c）^{2}}$=$\frac{4{e}^{2}}{1-2e+{e}^{2}}$，
∵0＜λ＜4，
∴0＜$\frac{4{e}^{2}}{1-2e+{e}^{2}}$＜4，0＜e＜1，
解得$0＜e＜\frac{1}{2}$．
故答案为：$（0，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．